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一次函数练习题及解析

时间:2013-10-01 08:19来源:未知 作者:admin 点击:
教学内容: 一次函数 【基础知识精讲】 1.理解一次函数与正比例函数的概念. 2.能根据实际问题中的条件,确定正比例函数和一次函数的解析式. 3.了解正比例函数与一次函数的

教学内容:一次函数

【基础知识精讲】

1.理解一次函数与正比例函数的概念.

2.能根据实际问题中的条件,确定正比例函数和一次函数的解析式.

3.了解正比例函数与一次函数的区别与联系.命题形式主要是根据所给的实际问题求一次函数解析式.

【重点难点解析】

1.一次函数,正比例函数的定义

一次函数无论从解析式、图象及性质看都是最简函数.函数的定义:自变量的次数为一次,形如y=kx+b(ko)形式,那么y叫x的一次函数,其中是k、b是常数.当k=0时,y就不是x的一次函数,当k0、b=0时函数为y=kx(k0)形式,称为正比例函数,正比例函数为一次函数的特殊情况.

一个函数若是一次函数,其自变量的最高次数必须是一次,且一次项系数不为零.求一次函数解析式即求出k、b的值.

2.一次函数与正比例函数的关系

正比例函数是一次函数,而一次函数不一定是正比例函数,即正比例函数是一次函数的特殊情况.要特别注意解析式中k0的条件.

一次函数y=kx+b(k0)

A、重点、难点提示

1.理解一次函数和正比例函数的概念;(注意两者的区别与联系)

2.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的数学应用能力;

3.经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力.

 

B.考点指要

一次函数是最基本、最简单的函数,是我们学习、理解、掌握函数概念的模型.

(注意k≠0,这是判别一个函数是否为一次函数时容易忽略的地方)

若两个变量x,y之间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量).特别地,当b=0时,y是x的正比例函数.

正比例函数是一次函数的特殊情形.所以正比例函数是一次函数,而一次函数不一定是正比例函数.

(要正确理解一次函数和正比例函数的关系)

 

【难题巧解点拨】

例1:根据所给的问题,写出y与x的函数关系式,并判断这个函数是否为一次函数?

(1)矩形的周长是28cm,它的长为y厘米,宽是x厘米;

(2)比y的25%大9的数是x.

解:(1)根据题意,得2(x+y)=28, (别忘了周长是2(x+y),而不是(x+y))

x+y=14,

∴y=14-x,(掌握判断函数为一次函数的方法)

这个函数是一次函数;

(2)根据题意,得y·25%+9=x,(关键是找出题中的等量关系)

y·25%=x-9,

∴y=4x-36,

点评:写函数关系式一般要按照以下步骤:先认真审题,根据题意找出等量关系,再按照等量关系写出含有两个变量的等式,最后将等式变形为用含自变量的代数式表示函数的式子.

 

例2:一梯形的上底长为4,下底长为7,一腰长为12,写出梯形的周长y与另一腰长x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.

思路分析

由周长定义可得一等式,再用x的代数式表示y即可.自变量x的取值范围,除一般的认为应大于0以外,还应考虑能否组成符合要求的梯形.为此通过作辅助线,将问题转化为三角形,进而从三角形边与边之间的关系来考虑.

解:由题意得:4+7+12+x=y,

∴y=x+23.(构造三角形,研究x的取值范围)

如图6-5所示,过点D作DE∥AB交BC于点E,则

 

BE=AD=4,DE=AB=12,(平行四边形的对边对应相等)

在△DCE中,DE=12,EC=BC-BE=7-4=3.

由三角形中三边关系,得DE-EC<DC<DE+EC,

(三角形中两边之和小于第三边,两边之和大于第三边)

即12-3<x<12+3,即9<x<15.

∴所求函数关系式为y=x+23(9<x<15).

点评:在实际问题中,自变量的取值范围还必须使实际问题有意义.

 

例3:某厂有煤80吨,每天需烧煤5吨,求工厂余煤量y(吨)与烧煤天数x(天)之间的函数关系式,并指出y是不是x的一次函数和自变量x的取值范围.

思路分析

余煤量等于原有煤量减去烧掉的煤量,自变量x表示烧煤天数,所以x≥0,烧煤天数越多,余煤量y越小,但y≥0,从而可求出自变量x的取值范围.

解:y=80-5x,它是一次函数.

∵x≥0,且80-5x≥0,∴x≥0,且x≤16,

∴0≤x≤16.

∴自变量x的取值范围是0≤x≤16.

(求实际问题的自变量的取值范围,必须弄清楚自变量表示什么实际意义,按照它表示的实际意义分析取值范围)

 

例4:某校办工厂生产了一批新产品,现有两种销售方案.方案一:在这学期开学时出售该批产品,可获利30000元,然后将该批产品的成本(生产该批产品支出的总费用)和已获利的30000元进行再投资,到这学期结束时再投资又可获利4.8%;方案二:在这学期结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付成本的0.2 %作保管费.

(1)设该批产品的成本位x元,方案一的获利为元,方案二的获利为元,分别求出与x的函数关系式;

(2)当该批产品的成本是多少元时,方案一与方案二的获利是一样的?

(3)就成本x元讨论方案一好,还是方案二好?

解:(1),

(2)根据题意,得,(第二小题的实质是解方程)

∴0.048x+31440=35940-0.002x,

∴x=90000,

因此,当该批产品的成本是90000元时,方案一与方案二的获利是一样的

(3)由得,x>90000,即成本大于90000元时,方案一好;

由得,x<90000,即成本小于90000元时,方案二好.

(获利多的方案较好)

点评:本题为决策性问题,一般先列出算式或建立函数关系式,通过算式大小的比较或确定函数的最值来作出相应的决策.

 

例5:已知亚美服装厂现有A种布料70米,B种布料52米,现计划用这种布料生产M、N两种型号的时装共80套,已知做一套M型号的时装需用A种布料0.6米,B种布料0.9米,可获利45元;已知做一套N型号的时装需用A种布料1.1米,B种布料0.4米,可获利50元.若设生产N型号的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元.

(1)求y(元)与x(套)的函数关系式,并计算自变量x的取值范围;

(2)亚美服装厂在生产这批时装中,当N型号的时装为多少套时,所获利润最大,最大利润是多少?

思路分析

因为M、N两种型号的时装共80套,其中N型号的时装为x套,所以M型号的时装为(80-x)套,因此可以用x表示出生产所需的A、B两种布料数和总利润.根据A、B两种布料的总量可以求出自变量x的取值范围.在自变量x的取值范围内也就可以求出函数值y的最大值.

解:(1)y=45×(80-x)+50x,即y=5x+3600.

由题意得:0.6×(80-x)+1.1x≤70,且0.9×(80-x)+0.4x≤52,

解得40≤x≤44,

∵x为整数,∴x取40,41,42,43,44.

(注意x为整数,这样的自变量的取值范围与前面几题不一样)

(2)∵y=5x+3600,

∴y随x的增大而增大,(想一想,为什么)

∴当x=44时,y有最大值,其最大值为3820元.

∴当生产N型号的时装44套时,能使服装厂所获利润最大,最大利润是3820元.

 

例6:中国青年报2001年3月19日报道:中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”,这个套餐的最大特点是针对不同的用户采取了不同的收费方法.具体方案如下:

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