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从相似入手探索存在性问题

时间:2015-07-16 19:49来源:未知 作者:admin 点击:
近年来的中考中,出现了一类判断是否存在一点或一条线段使某一结论成立的问题.解答它们,要注意根据题设条件,从相似入手,先找到有关线段之间的关系.现以近几年的中考题为
  近年来的中考中,出现了一类判断是否存在一点或一条线段使某一结论成立的问题.解答它们,要注意根据题设条件,从相似入手,先找到有关线段之间的关系.现以近几年的中考题为例介绍如下:
  例1 (湖南省长沙市)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连结AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.
  (1) 求证:△ABP∽△PCE;
  (2) 求等腰梯形的腰AB的长;
  (3) 在底边BC上是否存在一点P,使得DE∶CE=5∶3?如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由.
  分析 (1) 在△ABP和△PCE中,∠B=∠C. 要证明这两个三角形相似,只要再证明有一组角对应相等就可.(2) 作出等腰梯形的两条高AF及DQ.由于∠B=60°,要求AB的长,应先确定BF的长.
  (3) 假设存在符合要求的点P,则必存在实数x=BP,使得DE∶CE=5∶3.接下去,应构造一个关于x的方程,若这个方程有实数解,且这个解的值大于0小于7,就存在;否则,就不存在.
  解:(1) 在等腰梯形ABCD中,由AD∥BC,得∠C=∠B=60°.
  所以∠CPE+∠PEC=120°.
  因为∠APE=∠B=60°,
  所以∠CPE+∠APB=120°.
  所以∠APB=∠PEC.
  所以△ABP∽△PCE.
  (2) 作AF⊥BC于点F,作DQ⊥BC于点Q,那么BF=CQ=(BC-AD)=2.
  因为∠AFB=90°,∠B=60°,
  所以∠BAF=30°,AB=2BF=4.
  (3)假设存在符合要求的点P,则存在实数x=BP,这时PC=7-x.
  因为△ABP∽△PCE,
  所以=.
  因为DE∶CE=5∶3,DC=AB=4,
  所以CE=DC=1.5.
  所以=.
  解之,x1= 1, x2= 6.
  因为0<x<7,
  所以存在符合要求的点P,且BP=1,或6.
  例2 (江苏省苏州市)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点(异于A、B两点),过点P分别作AC、BC边的垂线,垂足为M、N.设AP=x.
  (1) 在△ABC中,AB= ;
  (2) 当x= 时,矩形PMCN的周长是14;
  (3) 是否存在线段AP,使得△APM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断,并加以说明.
  分析 (1) 从勾股定理入手求AB的长;(2) 由于矩形PMCN的周长是14,得PM+PN=7.要求x的值,应考虑用含x的代数式分别表示PM和PN;(3) 要判断是否存在线段AP,只需判断是否存在实数x,使S△APM=S△ABC和S△PBN=S△ABC同时成立.
  解:(1)在△ABC中,
  因为∠C=90°,AC=8,BC=6,
  所以AB==10.
  (2)当AP=x时,得PB=10-x.
  因为PM⊥AC于M,PN⊥BC于N,
  所以Rt△APM∽Rt△ABC,
  Rt△PBN∽Rt△ABC.
  所以 = , = .
  所以PM==x,
  PN==10-x.
  因为PM+PN=7,
  所以x+(10-x)=7.
  解之,x=5.
  所以当x=5时,矩形PMCN的周长是14.
  (3) 假设存在符合要求的线段AP,则存在实数x,使S△APM =S△ABC和S△PBN =S△ABC同时成立.
  因为Rt△APM∽Rt△ABC,
  Rt△PBN∽Rt△ABC,
  所以=2,=2.
  所以=2,=2.
  由=2,得x=;由=2,得x=10-.
  因为两者x的值不一致,
  所以不存在符合要求的线段AP.
  例3 (辽宁省鞍山市)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.
  (1) 若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积;
  (2) 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;
  (3) 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由.
  分析 (1) 用含x的代数式表示△BEF的面积的关键在于用含x的代数式表示△BEF的边BE上的高;(2) 由于(1)中的x已使得EF平分等腰梯形ABCD的周长,要判断是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分,只需判断是否存在实数x使S△BEF =SABCD;(3) 分两种情况考虑:一是BE+BF=等腰梯形ABCD周长的=8,且S△BEF =SABCD;另是BE+BF=等腰梯形ABCD周长的=16,且S△BEF =SABCD.由于BE+BF的最大值只能是15,所以后一种情况不可能.
  解:(1) 过点F作FG⊥BC于点G,过点A作AH⊥BC于点H.
  因为AB=DC=5,AD=4,BC=10,
  所以BH=(BC-AD)÷2=3,AH==4.
  因为EF平分等腰梯形ABCD的周长,BE=x,
  所以BF=12-x.
  因为Rt△BFG∽Rt△BAH,
  所以=,FG==(12-x).
  从而S△BEF =BE·FG=x·(12-x)=-x2+x.
  因为0≤BE≤10,0≤BF≤5,
  所以7≤x≤10.
  (2) 假设存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分,那么必存在实数x使S△BEF =S.
  因为S=(AD+BC)·AH=28,
  所以-x2+x=14.
  解之,x1=5,x2=7.
  因为7≤x≤10,
  所以x=7符合要求,即知存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE的长为7.
  (3) 注意到0≤BE≤10,0≤BF≤5,那么0≤BE+BF≤15.若存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分,则BE+BF=等腰梯形ABCD周长的=8,且S△BEF=SABCD=.为方便起见,设此时的BE=a.
  因为Rt△BFG∽Rt△BAH,
  所以FG = =(8-a),
  所以a·(8-a)=.
  因为该方程无实数解,
  所以不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.
(责任编辑:admin)
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