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二次函数中考常考点解析

时间:2013-04-30 04:37来源:未知 作者:admin 点击:
二次函数 属于人教版全日制义务教育课程标准实验教科书《数学》中“数与代数”领域内容的重要知识点,它是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型.在各类检测中,二次函数的

二次函数属于人教版全日制义务教育课程标准实验教科书《数学》中“数与代数”领域内容的重要知识点,它是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型.在各类检测中,二次函数的图像、图像的特征、函数关系式、函数的性质、运用二次函数及其性质解决简单的实际问题等,属重点考试内容.下面通过具体问题探讨二次函数的常考点.
考点1:二次函数的对称轴
例1:(2007年北京市西城区)抛物线y=x2-2x+1的对称轴是( ) .
A.直线x=1 B.直线x=-1
C.直线x=2 D.直线x=-2
另一种方法:可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式,对称轴为x=h,已知抛物线可配方为y=(x-1)2,所以对称轴为x=1,应选A.
考点2:二次函数的顶点
例2:(2007年广西壮族自治区)已知二次函数y=x2-2x-1,求它的顶点坐标.
思路点拨:可先将函数y=x2-2x-1化成顶点式,再求出顶点坐标.
解:配方得y=x2-2x-1=(x-1)2-2,
由x-1=0得x=1,y=-2.
二次函数顶点坐标为(1,-2).
考点3:二次函数的最值问题
例3:(2007年江西省)二次函数y=x2 -2x-3的最小值是.
思路点拨:先求出二次函数的顶点坐标,顶点坐标的纵坐标就是最小值.
解:配方得y=x2-2x-3=(x-1)2-4.
∴顶点坐标为(1,-4).
∴该二次函数的最小值为-4.
2.如果二次函数在一个实际问题中求最大最小值,除了考虑顶点坐标外,还要考虑自变量的端点值.
考点4:二次函数的平移问题
例4:(2007甘肃省兰州市)已知y=2×2的图像是抛物线,若抛物线不动,把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,求在新坐标系下抛物线的解析式.
思路点拨:由于是平移,不改变二次函数的开口方向和大小,只改变顶点的位置.把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,则顶点的横、纵坐标就会比原来减少2个单位.
解:原抛物线的顶点坐标为(0,0),
∴新坐标下抛物线的顶点坐标为(-2,-2).
∴新坐标系下抛物线的解析式为y=2(x+2)2-2=2×2+8x+6.
评注:1.二次函数平移,不改变二次函数的开口方向和大小即二次项系数a不变,只改变顶点的位置,所以先求原抛物线的顶点,再根据平移求新抛物线的顶点,利用顶点方程式写出新的抛物线的解析式.
2.对于本题的平移,也可看成坐标系不动,将抛物线分别沿着水平方向向左和垂直方向向下平移.
考点5:二次函数图像性质的综合
例5:
1.(2007年湖南省岳阳市)小明从如图1的二次函数y=ax2+bx+c图像中,观察得出了下面5条信息:①a<0;②c=0;③函数的最小值为-3;④当x<0时,y>0;⑤当0<x1<x2<2时,y1 >2.你认为其中正确的个数为().
A.2个B.3个C.4个D.5个

答:C
解:由图像可知:抛物线开口向上,∴a>0故①错;∵抛物线过原点,∴c=0,故②对;∵抛物线开口向上,其顶点纵坐标为-3,故函数的最小值为-3,故③对;∵抛物线过原点,其顶点坐标为(2,-3),∴当x<0时,y>0,故④对;∵抛物线的对称轴为直线x=2,且开口向上,∴当x<2时,函数y随x的增大而减小,故⑤对.
2.(2007年浙江省)如图2,二次函数y=ax2+bx+c图像开口向上,图像过点(-1,2)和(1,0),且与y轴相交于负半轴.
第1问:给出4个结论:①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+c=0,其中正确结论的序号为.
第2问:给出4个结论:①abc<0;②2a+b>0;③a+c=1;④a>1,其中正确结论的序号为.
考点6:二次函数与其他函数图像的综合
例6:(2007年内蒙古自治区呼和浩特市)如图3,函数y=ax2+bx与y=ax+b在同一平面直角坐标系中的图像大致是().
解:在选项A中,二次函数y=ax2+bx的a>0,b=0,而对于函数y=ax+b来说,a>0,b>0,则这两个函数解析式中的b的取值不一样,故排除A.同样,在选项B中,二次函数y=ax2+bx的a>0,b<0,而对于函数y=ax+b来说,a<0,b<0,但是从图像上来看点(0,b)在y=ax2+bx 的图像上,而将(0,b)代入y=ax2+bx时,y=0,而不等于b,故排除B.在选项D中,二次函数y=ax2 +bx的a>0,b>0,而对于函数y=ax+b来说,a<0,b<0,则这两个函数解析式中的a、b的取值不一样,故排除D.
评注:(1)本题考查了确定两函数图像能否在同一坐标系内的能力,主要办法是根据图像采用逐一排除法.
(2)对于二次函数的图像与a、b、c有这样的关系,①a与开口方向有关,当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下;②b与a和对称轴与y轴的位置有关,当对称轴在y轴的左边时,a与b的符号相同,当对称轴在y轴的右边时a与b的符号相反;③c与二次函数与y轴交点的位置有关,当二次函数与y轴交点在y轴的正半轴上时,c>0,当二次函数与y轴交点的在y轴的负半轴上时,c<0.综合以上,可用以下语言概述:左同,右异;上正,下负.
考点7:求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点
例7:(2007年天津市)已知抛物线y=4×2-11x-3,求它与x轴、y轴的交点坐标.
解:由x=0得y=-3,所以抛物线与y轴交点坐标为(0,-3).
考点8:用待定系数法求二次函数的解析式
例8:(2007年北京市)已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,3),与x轴分别交于点B(1,0)、C(5,0)两点,求此抛物线的解析式.
思路点拨:由于已知三点,所以本题可以采用一般式求抛物线的解析式.但考虑到已知与x轴交点,所以用交点式更简单.
解:设此抛物线为y=a(x-x1)(x-x2).(a≠0),则x1=1,x2=5.
所以y=a(x-1)(x-5).
点式.
(3)当题目条件为已知图像与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x1)(x-x2),(a≠0).称为交点式.
考点9:关于求二次函数解式的开放问题
例9:(2007年北京市东城区)有一个二次函数的图像,3位学生分别说出了它的一些特点:
甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式
解:设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2),且设x1<x2,则其图像与x轴两交点分别是A(x1,0),B(x2,0),与y轴交点坐标是(0,a x1x2).
∵抛物线对称轴是直线x=4,
∴x1+x2=8①
评注:(1)本题中,只要填出一个解析式即可.
(2)本题也可用猜测验证法.例如:猜测与x轴交点为A(5,0),B(3,0).再由题设条件求出a,看C是否整数.若是,则猜测得以验证,填上即可.

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