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判别式在中考数学中的应用

时间:2013-05-06 10:56来源:未知 作者:admin 点击:
一元二次方程 根的判别式是初中代数的重要内容之一,本文以近两年 中考 题为例,说明判别式的应用. 一、不解方程,判断方程根的情况 例1 (2011年包头卷)一元二次方程x2+x+■=0根的

一元二次方程根的判别式是初中代数的重要内容之一,本文以近两年中考题为例,说明判别式的应用.
一、不解方程,判断方程根的情况
例1 (2011年包头卷)一元二次方程x2+x+■=0根的情况是( ).
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
解:△=b2-4ac=1-4×■=0.
因此方程有两个相等的实数根. 选B.
温馨小提示:在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,判别式△=b2-4ac.当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.
二、根据方程根的情况,确定待定字母系数的值或取值范围
例2(2010年北京卷)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个相等实数根,求m的值及方程的根.
解:由已知得△=0.即(-4)2-4(m-1)=0.解得m=5.
当m=5时,原方程化为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2.
所以原方程的根为x1=x2=2.
温馨小提示:这是判别式的典型应用,必须灵活掌握.
三、证明字母系数方程有实数根或无实数根
例3 (2010年茂名卷)已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0(k为常数).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设x1,x2为方程的两个实数根,且x1+2×2=14,试求出方程的两个实数根和k的值.
解:(1)证明:∵b2-4ac=(-6)2-4×1×(-k2)=36+4k2>0,
因此方程有两个不相等的实数根.
(2)∵x1+x2=-■=-■=6,
∴x1+x2=6,x1+2×2=14.解得x1=-2,x2=8.
将x1=-2代入原方程得(-2)2-6×(-2)-k2=0,解得k=±4.
温馨小提示:本题考查了含有字母系数的一元二次方程,用判别式证明其根的存在情况.
四、利用根的判别式判断三角形的形状或确定边长
例4 (2011年南宁卷)在等腰△ABC中,三边分别为a、b、c,其中a=5,若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,则△ABC的周长为 .
解:因为关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,所以△=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.
解得b=2或b=-10(不合题意,舍去). ∴b=2.
当c=b=2时,b+c=4<5,不合题意.
当c=a=5时,a+b+c=12.
因此,△ABC的周长为12. 填12.
温馨小提示:解题的切入点是方程有两个相等的实根,运用判别式得出边长,进而求出三角形周长. 在等腰三角形中要注意分类讨论.
五、在概率中的应用
例5 (2011年随州卷)甲、乙两同学投掷一枚骰子,用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数.
(1)求满足关于x的方程x2+px+q=0有实数解的概率;
(2)求(1)中方程有两个相同实数解的概率.
解:(1)关于x的方程x2+px+q=0有实数解,所以p2-4q≥0.
p、q可取1,2,3,4,5,6,共有36种取值.满足条件p2-4q≥0在表中画“√”,共有19种,所以方程有实数解的概率为■.
(2)当△=p2-4q=0,即p2=4q时,方程有两个相等的实数解,也就是说4q必须是一个完全平方数,此时,只有q=1或q=4共2种取值.因此,方程x2+px+q=0有相同实数解的概率为■=■.
温馨小提示:本题将一元二次方程的解与概率相结合,富有创意.根的判别式是解题的切入点.■  

(责任编辑:admin)
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