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一元二次方程中考考点解析

时间:2013-05-07 08:24来源:未知 作者:admin 点击:
一元二次方程 是 中考 数学的重要考点之一,同时也是学好 二次函数 的基础,尤其是一元二次方程结合函数更是中考热点. 特将近几年来各地在中考中出现的一元二次方程考题进行归类

一元二次方程中考数学的重要考点之一,同时也是学好二次函数的基础,尤其是一元二次方程结合函数更是中考热点. 特将近几年来各地在中考中出现的一元二次方程考题进行归类解析,供大家参考.
一、一元二次方程的概念
例1 (2011年兰州)下列方程中是关于x的一元二次方程的是( ).
A. x2 += 0 B. ax2 + bx + c = 0
C. (x – 1)(x + 2) = 1 D. 3×2 – 2xy – 5y2 = 0
分析 本题主要考查一元二次方程的定义,一元二次方程须满足两个条件:(1)只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2;(2)方程必须是整式方程. 答案:C.
例2 (2012年柳州)一元二次方程3×2 + 2x – 5 = 0的一次项系数是 .
分析 考查一元二次方程的一般形式是:ax2 + bx + c = 0(a,b,c是常数且a ≠ 0),其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项. 根据定义即可求解.答案:2.
二、一元二次方程的解法
例3 (2012年梅州)(1)已知一元二次方程x2 + px + q = 0(p2 – 4q ≥ 0)的两根为x1,x2;求证:x1 + x2 = -p,x1·x2 = q.
分析 本题考查了一元二次方程的公式法解法,先根据求根公式得出x1、x2的值,再求出两根的和与积即可.
例4 (2012年常州)已知关于x的方程2×2 – mx – 6 = 0的一个根为2,则m = ,另一个根为 .
分析 本题考查了一元二次方程解的含义,将2代入求出m后,解一元二次方程. 当然本题也能应用一元二次方程的根与系数的关系求解.
三、一元二次方程根与系数的关系
例5 (2012年鄂州)设x1,x2是一元二次方程x2 + 5x – 3 = 0的两个实根,且2×1(x22 + 6×2 – 3) + a = 4,则a = .
分析 运用整体代入法及根与系数的关系求解.
解 ∵ x1,x2是一元二次方程x2 + 5x – 3 = 0的两个实根,∴ x1 + x2 = -5,x1x2 = -3,x22 + 5×2 = 3,又∵ 2×1(x22 + 6×2 – 3) + a = 2×1(x22 + 5×2 + x2 – 3) + a = 2×1(3 + x2 – 3) + a = 2x1x2 + a = 4,∴ -6 + a = 4,解得:a = 10.
四、一元二次方程根的判别式
例6 ( 2012年河池)一元二次方程x2 + 2x + 2 = 0的根的情况是( ).
A . 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 无实数根
分析 由b2 – 4ac = 4 – 8 = -4 < 0得出方程没有实数根.
例7 (2011年南充)关于的一元二次方程x2 + 2x + k + 1 = 0的实数解是x1和x2.
(1)求k的取值范围;
(2)如果x1 + x2 – x1x2 < -1且k为整数,求k的值.
分析 本题先应用根的判别式求出k的取值范围,再应用根与系数关系求出k值.
解 (1)∵方程有实数根,∴ Δ = 22 – 4(k + 1) ≥ 0,
解得k ≤ 0,
k的取值范围是k ≤ 0.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得x1 + x2 = -2, x1x2 = k + 1,
x1 + x2 – x1x2 = -2 – (k + 1),
由已知,得 -2 – (k + 1)< -1,解得 k > -2,
又由(1)k ≤ 0,
∴ -2 < k ≤ 0.
∵ k为整数,∴ k的值为-1和0.
五、一元二次方程与函数、实际问题等的综合运用
例8 (2011年淄博)已知关于x的方程x2 – 2(k – 3)x + k2 – 4k – 1 = 0.若以方程x2 – 2(k – 3)x + k2 – 4k – 1 = 0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数 的图像上,求满足条件的m的最小值.
解 设方程x2 – 2(k – 3)x + k2 – 4k – 1 = 0的两个根为x1,x2,根据题意得m = x1x2.又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2 = k2 – 4k – 1,那么m = k2 – 4k – 1 = (k – 2)2 – 5,所以,当k = 2时m取得最小值-5.

(责任编辑:admin)
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