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二次函数综合题分类解析

时间:2013-07-15 08:28来源:未知 作者:admin 点击:
二次函数 综合题涉及知识面广,考查的知识点多,求解方法灵活,因而常常被作为 中考 数学的压轴题.本文以2008年中考试题为例,对二次函数综合试题进行分类解析,供参考. 一、与

二次函数综合题涉及知识面广,考查的知识点多,求解方法灵活,因而常常被作为中考数学的压轴题.本文以2008年中考试题为例,对二次函数综合试题进行分类解析,供参考.
一、与一次函数相结合
例1 (大连市)如图1,直线 y=x+m 和抛物线 y=x2+bx+c 都经过点A(1,0),B(3,2).
(1)求 m 的值和抛物线的解析式;
(2)求不等式 x2+bx+c>x+m 的解集(直接写出答案).
解:(1)因为直线 y=x+m 经过点A(1,0),
所以0=1+m,所以 m=-1,即 m 的值为-1.
因为抛物线 y=x2+bx+c 经过点A(1,0),B(3,2).
所以0=1+b+c,2=9+3b+c.
解得b=-3,c=2.
所以二次函数的解析式为
y=x2-3x+2.
(2) x>3 或 x<1.
二、与反比例函数相结合
例2 (云南省)已知,在同一直线坐标系中,反比例函数 y=5x与二次函数 y=-x2+2x+c 的图象交于点A(-1,m).
(1)求 m、c 的值;
(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.
解:(1)因为点A在函数 y=5x的图象上,
所以 m=5-1=-5,所以点A坐标为(-1,-5).
因为点A在二次函数图象上,
所以-1-2+c=-5,
所以 c=-2.
(2)因为二次函数的解析式为
y=-x2-2x-2,
所以 y=-x2+2x-2=-(x-1)2-1.
所以对称轴为直线 x=1,顶点坐标为(1,-1).
三、与一次函数和反比例函数相结合
例3 (呼和浩特市)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,则直线 y=ax+b 与反比例函数 y=acx,在同一坐标系内的大致图象为( )
解:由二次函数的图象可得 a<0,c>0,对称轴 x=-b2a<0,故 b<0.直线 y=ax+b 应经过第二、三、四象限;双曲线 y=acx应在第二、四象限.故选(B).
四、与一元二次方程相结合
例4 (天津市)已知抛物线 y=3ax2+2bx+c.
(1)若 a=b=1,c=-1,求该抛物线与 x 轴公共点的坐标;
(2)若 a=b=1,且当-1<x<1时,抛物线与 x 轴有且只有一个公共点,求 c 的取值范围;
(3)若 a+b+c=0,且 x1=0时,对应的 y1>0;x2=1时对应的 y2>0,试判断当0<x<1时,抛物线与 x 轴是否有公共点?若有,证明你的结论;若没有,阐述理由.
解:(1)当 a=b=1,c=-1时,抛物线为
y=3×2+2x-1,
方程 3×2+2x-1=0的两个根为 x1=-1,x2=13,所以该抛物线与 x 轴公共点的坐标是(-1,0)和(13,0).
(2)当 a=b=1时,抛物线为 y=3×2+2x+c,且与 x 轴有公共点.
对于方程3×2+2x+c=0,判别式Δ=4-12c≥0,有 c≤13.
①当 c=13时,由方程3×2+2x+13=0,解得 x1=x2=-13,此时抛物线为 y=3×2+2x+13与 x 轴只有一个公共点(-13,0).
②当 c<13时,x1=-1时,
y1=3-2+c=1+c,
当 x2=1时,y2=3+2+c=5+c.
由已知-1<x<1时,该抛物线与 x 轴有且只有一个公共点, 考虑其对称轴为 x=-13,应有
y1≤0,y2>0.
即1+c≤0,5+c>0,
所以-5<c≤-1.
综上,c=13或-5<c≤-1.
(3)对于二次函数 y=3ax2+2bx+c,由已知 x1=0时,y1=c>0;x2=1时,y2=3a+2b+c>0.
又 a+b+c=0,
所以3a+2b+c
=(a+b+c)+(2a+b)
=2a+b.
于是 2a+b>0,而 b=-a-c,
所以2a-a-c>0,
即 a-c>0,所以 a>c>0.
因为关于 x 的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式
Δ=4b2-12ac
=4(a+c)2-12ac
=4[(a-c)2+ac]>0,
所以抛物线 y=3ax2+2bx+c 与 x 轴有两个公共点,顶点在 x 轴下方.又该抛物线的对称轴 x=-b3a,
由 a+b+c=0,c>0,2a+b>0,
得-2a<b<-a,
所以13<-b3a<23,
又由已知 x1=0时,y1>0;x2=1时 y2>0,观察图象可知在0<x<1范围内,该抛物线与 x 轴有两个公共点.
五、与二次函数相结合
例5 (江西省)已知如图5所示的两条抛物线的解析式分别是 y1=-ax2-ax+1,y2=ax2-ax-1(其中 a 为常数,且 a>0).
(1)请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论;
(2)当 a=12时,设 y1=-ax2-ax+1与 x 轴分别交于M,N两点(M在N的左边),y2=ax2-ax-1与 x 轴分别交于E、F两点(E在F的左边),观察M,N,E,F四点坐标,请写出一个你所得到的正确结论,并说明理由;
(3)设上述两条抛物线相交于A,B两点,直线L,L1,L2都垂直于 x 轴,L1,L2分别经过A,B两点,L在直线L1,L2之间,且L与两条抛物线分别交于C,D两点,求线段CD的最大值.
解:(1)答案不唯一,只要合理即可.例如:
①抛物线 y1=-ax2-ax+1开口向下;或抛物线 y2=ax2-ax-1开口向上;
②抛物线 y1=-ax2-ax+1的对称轴是 x=-12,或抛物线 y2=ax2-ax-1的对称轴是 x=12;
③抛物线 y1=-ax2-ax+1经过点(0,1)或抛物线 y2=ax2-ax-1经过点(0,-1).
④抛物线 y1=-ax2-ax+1与 y2=ax2-ax-1的形状相同,但开口方向相反;
⑤抛物线 y1=-ax2-ax+1与 y2=ax2-ax-1都与 x 轴有两个交点;
⑥抛物线 y1=-ax2-ax+1经过点(-1,1)或抛物线 y2=ax2-ax-1经过点(1,-1);等等.
(2)当 a=12时,y1=-12×2-12x+1,
令-12×2-12x+1=0,
解得 xM=-2,xN=1.
y2=12×2-12x-1,
令 12×2-12x-1=0,
解得 xE=-1,xF=2.
①因为 xM+xF=0,xN+xE=0,所以点M与点F对称,点N与点E对称;
②因为 xM+xF+xN+xE=0,所以M,N,E,F四点横坐标代数和为0;
③因为MN=3,EF=3,所以MN=EF(或ME=NF).
(3)因为 a>0,所以抛物线 y1=-ax2-ax+1开口向下,抛物线 y2=ax2-ax-1开口向上.根据题意得
CD=y1-y2=(-ax2-ax+1)-(ax2-ax-1)=-2ax2+2.
所以当 x=0时,CD的最大值是2.
六、与三角形相结合
例6 已知:如图6,抛物线 y=ax2-2ax+c(a≠0)与 y 轴交于点C(0,4),与 x 轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).
(1)求该抛物线的解析式;

(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(3)若平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0),问:是否存在这样的直线 l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意,得
0=16a-8a+c,4=c.
解得a=12,c=4.
所以所求抛物线的解析式为
y=-12×2+x+4.
(2)设点Q的坐标为(m,0),过点E作EG⊥x 轴于点G.
由-12×2+x+4=0,得 x1=-2,x2=4.
所以点B的坐标为(-2,0),
所以AB=6,BQ=m+2.
因为QE∥AC,
所以△BQE∽△BAC,
所以EGCO=BQBA,即EG4=m+26,
所以EG=2m+43.
所以S△CQE=S△CBQ-S△EBQ
=12BQ·CO-12BQ·EG
=12(m+2)(4-2m+43)
=-13m2+23m+83
=-13(m-1)2+3.
又因为-2≤m≤4,所以当 m=1时,S△CQE有最大值3,此时Q(1,0).
(3)存在.
(Ⅰ)若DO=DF,因为A(4,0),D(2,0),
所以AD=OD=DF=2.
又在Rt△AOC中,OA=OC=4,
所以∠OAC=45°,
所以∠DFA=∠OAC=45°,
所以∠ADF=90°,此时,点F的坐标为(2,2).
由-12×2+x+4=2,
得 x1=1+5,x2=1-5.
此时,点P的坐标为:
P(1+5,2)或P(1-5,2).
(Ⅱ)若FO=FD,过点F作FM⊥x 轴于点M,由等腰三角形的性质得
OM=12OD=1,所以AM=3.
所以在等腰Rt△AMF中,MF=AM=3,所以F(1,3).
由-12×2+x+4=3,得
x1=1+3,x2=1-3.
此时,点P的坐标为:
P(1+3,3)或P(1-3,3).
(Ⅲ)若OD=OF,
因为OA=OC=4,且∠AOC=90°,
所以AC=42.
所以点O到AC的距离为22,而OF=OD=2<22,此时,不存在这样的直线 l,使得△ODF是等腰三角形.
综上所述,存在这样的直线 l,使得△ODF是等腰三角形.所求点P的坐标为:
P(1+5,2)或P(1-5,2)或P(1+3,3)或P(1-3,3).
七、与四边形相结合
例7 (长春市)在直角坐标中,抛物线 y=x2+bx+c 经过点(0,10)和点(4,2).
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图7,在边长一定的矩形ABCD中,CD=1,点C在 y 轴右侧沿抛物线 y=x2+bx+c 滑动,在滑动过程中CD∥x 轴,AB在CD的下方,点D在 y 轴上时,AB落在 x 轴时.
(1)求边BC的长.
(2)当矩形ABCD在滑动过程中被 x 轴分成两部分的面积比为1∶4时,求点C的坐标.
解:(1)由已知,得
c=10,16+4b+c=2,
所以b=-6,c=10.
所以 y=x2-6x+10.
(2)①因为CD=1,点D在 y 轴上,所以点C的横坐标为1.
在 y=x2-6x+10中,当 x=1时,y=5,所以边BC的长为5.
②因为矩形边长一定,所以BC=5.
当矩形ABCD在 x 轴上方部分的面积占这个矩形面积的15时,因为BC=5,所以点C的纵坐标为1,
所以 x2-6x+10=1,
即 x2-6x+9=0,
所以 x1=x2=3,所以C1(3,1).
当矩形△BCD在 x 轴上方部分的面积占这个矩形面积的45时,
因为BC=5,所以点C的纵坐标为4.
所以 x2-6x+10=4,
即 x2-6x+6=0,
所以 x1=3+3,x2=3-3.
所以 C2(3+3,4),C3(3-3,4).
八、与圆相结合
例8 (乌鲁木齐市)如图8,在平面直角坐标系中,以点C(1,1)为圆心,2为半径作圆,交 x 轴于A,B两点,开口向下的抛物线经过A,B,且其顶点P在⊙C上.
(1)求∠ACB的大小;
(2)写出A,B两点的坐标;
(3)试确定此抛物线的解析式;
(4)在该抛物线上是否存在一点D,使线段OP与CD互相平分?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)作CH⊥x 轴于H.
因为CH=1,半径CB=2,
所以∠BCH=60°,
所以∠ACB=120°.
(2)因为CH=1,半径CB=2,
所以HB=3,故A(1-3,0),B(1+3,0).
(3)由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为(1,3).
设抛物线解析式为 y=a(x-1)2+3,把点(1+3,0)代入上式,解得 a=-1.
所以 y=-x2+2x+2.
(4)假设存在点D使线段OP与CD互相平分,则四边形OCPD是平行四边形.
所以PC∥OD且PC=OD.
因为PC∥y 轴,所以点D在 y 轴上.
又因为PC=2,所以OD=2,即D(0,2).
又D(0,2)满足 y=-x2+2x+2,所以点D在抛物线上,所以存在D(0,2)使线段OP与CD互相平分.
(初三)

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